מהי a בחזקת x ואיך גוזרים אותה (ללא סרטון)חקירת פונקציית e – 572 · שיעור 34

חקירת פונקציית e – 572

שיעור 34 – מהי a בחזקת x ואיך גוזרים אותה (ללא סרטון)

חקירת פונקציה מעריכית a בחזקת x

1נוסח השאלה

2הסבר קצר

3סעיף א – חיתוך עם הצירים

4סעיף ב – אסימפטוטה אופקית

5סעיף ג – נגזרת ועלייה

6סעיף ד – משיק וסקיצה

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = 2^x − 8 .

א. מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.

ב. מצאו את האסימפטוטה האופקית.

ג. מצאו את f′(x) , והראו שהפונקציה עולה לכל x.

ד. מצאו את משוואת המשיק לגרף בנקודה שבה x = 3 , וסרטטו סקיצה.

הסבר קצר

f(x) = a^x

📐 הפונקציה y = ax

• כאשר a > 1 (למשל 2^x) הפונקציה עולה; כאשר 0 < a < 1 (למשל (12)^x) היא יורדת.

• תמיד חיובית, חותכת את ציר ה־y ב־(0 , 1) , ו־y = 0 אסימפטוטה אופקית.

הקשר ל־e: e הוא בסיס כמו כל בסיס אחר, וכל a^x אפשר לכתוב עם e :

2^x = e^{x · ln 2}

📐 מעבר לבסיס e

📐 הפונקציה y = ax

a > 0 , a ≠ 1
מוגדרת לכל x , תמיד חיובית
a⁰ = 1

📐 מעבר לבסיס e

a = e^{ln a}
a^x = e^{x · ln a}

הסבר קצר · המשך

2^x = e^{x · ln 2}

📐 מעבר לבסיס e

הנגזרת: גוזרים את e^{x · ln a} (הנגזרת הפנימית היא ln a) ומקבלים:

(a^x)′ = a^x · ln a

📐 נגזרת של ax

ואם בחזקה יש ביטוי, כופלים גם בנגזרת הפנימית. דוגמה:

[3^{2x + 1}]′ = 3^{2x + 1} · ln 3 · 2

📐 נגזרת של ag(x)

📐 מעבר לבסיס e

a = e^{ln a}
a^x = e^{x · ln a}

📐 נגזרת של ax

(a^x)′ = a^x · ln a

📐 נגזרת של ag(x)

[a^g(x)]′ = a^g(x) · ln a · g′(x)

סעיף א – חיתוך עם הצירים

ציר ה־y – נציב x = 0 :

f(0) = 2⁰ − 8 = 1 − 8 = −7

ציר ה־x – נציב y = 0 :

2^x − 8 = 0

2^x = 8

2^x = 2³ ⇒ x = 3

📐 משוואה עם בסיסים שווים

a^f(x) = a^g(x) ⇒ f(x) = g(x)

סעיף א – חיתוך עם הצירים · המשך

2^x = 2³ ⇒ x = 3

📐 משוואה עם בסיסים שווים

✅ פתרון סופי: (0 , −7) , (3 , 0)

📐 משוואה עם בסיסים שווים

a^f(x) = a^g(x) ⇒ f(x) = g(x)

סעיף ב – אסימפטוטה אופקית

כאשר x → −∞ :

2^x → 0 ⇒ f(x) → −8

כאשר x → ∞ הערכים שואפים ל־∞ , ולכן יש אסימפטוטה רק בצד שמאל.

✅ פתרון סופי: y = −8

סעיף ג – נגזרת ועלייה

f′(x) = 2^x · ln 2

📐 נגזרת של ax

2^x > 0 תמיד, וגם ln 2 > 0 , ולכן f′(x) > 0 לכל x :

f′(x) > 0

📐 עלייה וירידה

✅ פתרון סופי: f′(x) = 2^x · ln 2 , עולה לכל x

📐 נגזרת של ax

(a^x)′ = a^x · ln a

📐 עלייה וירידה

f′(x) > 0 – הפונקציה עולה ↗
f′(x) < 0 – הפונקציה יורדת ↘

סעיף ד – משיק וסקיצה

נקודת ההשקה היא (3 , 0) (מסעיף א). השיפוע – נציב x = 3 בנגזרת:

m = f′(3) = 2³ · ln 2 = 8 ln 2 ≈ 5.55

נציב במשוואת המשיק x₁ = 3 , y₁ = 0 , m = 8 ln 2 :

y − 0 = 8 ln 2 · (x − 3)

📐 משוואת משיק

y = 8 ln 2 · x − 24 ln 2

y ≈ 5.55x − 16.64

📐 משוואת משיק

y − y₁ = m(x − x₁)
m = f′(x₁)

סעיף ד – משיק וסקיצה · המשך

y ≈ 5.55x − 16.64

הגרף בכחול, המשיק בירוק, והאסימפטוטה באפור מקווקו.

✅ פתרון סופי: y ≈ 5.55x − 16.64

📌 סיכום התשובות

נגזרת

(a^x)′ = a^x · ln a

(0 , −7) , (3 , 0)

y = −8

עולה לכל x

y ≈ 5.55x − 16.64

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא